ejercicios de mcd mcm

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
16 Calcula mentalmente:
a) M.C.D. (4, 6) b) M.C.D. (4, 8)
m.c.m. (4, 6) m.c.m. (4, 8)
c) M.C.D. (20, 30) d) M.C.D. (12, 18)
m.c.m. (20, 30) m.c.m. (12, 18)
a) M.C.D. (4, 6)2 b) M.C.D. (4, 8)4
m.c.m. (4, 6)12 m.c.m. (4, 8)8
c) M.C.D. (20, 30)10 d) M.C.D. (12, 18)6
m.c.m. (20, 30)60 m.c.m. (12, 18)36
PÁGINA 73
18 Calcula:
a) M.C.D. (72, 108) b) M.C.D. (270, 234)
m.c.m. (72, 108) m.c.m. (270, 234)
c) M.C.D. (560, 588) d) M.C.D. (210, 315, 420)
m.c.m. (560, 588) m.c.m. (210, 315, 420)
a) 722 2 23 32
3
3
2
1082 23 332
2
3
3
M.C.D. (72, 108)2
2
3
2
36
m.c.m. (72, 108)2
3
3
3
216
b) 2702 3
3
5
2342 3
2
13
M.C.D. (270, 234)23
2
18
m.c.m. (270, 234)23
3
5 133 510
c) 5602
4
5 7
5882
2
3 7
2
M.C.D. (560, 588)2
2
728
m.c.m. (560, 588)2
4
3 5 7
2
 11 760
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Unidad 3. Divisibilidad
3d) 2102 35 7
3153
2
57
4202
2
35 7
M.C.D. (210, 315, 420)3 5 7105
m.c.m. (210, 315, 420)2
2
3
2
5 71 260

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica connúmeros naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos.

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2·2·3·5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.

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mcd

http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/max_y_min.pdf

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10 Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores. Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60: 1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5. 40 2 60 2 20 2 30 2 10 2 15 3 5 5 5 5 1 1 2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D. MCD = 2x2x5= 20 M.C.D. 40 = 2x2x2x5 M.C.D. 60 = 2x2x3x5

mi investigacion

..

1.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

..

Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3,   y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.  Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.  En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.  En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto  de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto  N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

..

1.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:  1.2.1. Conjunto de los números naturales.  El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:  N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}  La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.  Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.  1.2.2. Conjunto de los números enteros.  El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:  Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}  En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.    Puede notarse que N ÌZ.    1.2.3. Conjunto de los números racionales.  El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:  Q =  / m, n son enteros y n    La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación:  ax = b, con a, bÎ R, a ¹ 0.  Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b.  Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Ì Q.    En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.  1.2.4. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.  Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ  que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución.  El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional.  Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p ,  , etc.  En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =  , que no son números racionales.  1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q*. En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).

mi investigacion

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1.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

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Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3,   y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.  Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.  En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.  En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto  de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto  N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

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1.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:  1.2.1. Conjunto de los números naturales.  El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:  N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}  La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.  Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.  1.2.2. Conjunto de los números enteros.  El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:  Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}  En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.    Puede notarse que N ÌZ.    1.2.3. Conjunto de los números racionales.  El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:  Q =  / m, n son enteros y n    La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación:  ax = b, con a, bÎ R, a ¹ 0.  Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b.  Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Ì Q.    En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.  1.2.4. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.  Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ  que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución.  El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional.  Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p ,  , etc.  En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =  , que no son números racionales.  1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q*. En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).