Velocidad

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Definición de los vectores velocidad media e instantánea.

Para otros usos de este término, véase Velocidad (desambiguación).

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se la representa por $\vec {v}\,$ o $\mathbf {v}\,$ . Sus dimensiones son [L]/[T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s.
En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, al cual se le denomina celeridad o rapidez.^[1]
De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

[editar] Historia

Aristóteles estudió los fenómenos físicos sin llegar a conceptualizar una noción de velocidad. En efecto, sus explicaciones (que posteriormente se demostrarían incorrectas) solo describían los fenómenos en palabras, sin usar las matemáticas como herramienta.
Fue Galileo Galilei quien, estudiando el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado, llegó a un concepto de velocidad. Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida en unidades de tiempo. Esto es, fijó un patrón de una unidad de tiempo, como por ejemplo 1 segundo, y a partir de esto relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en cada segundo. De esta manera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variación de la distancia recorrida por unidad de tiempo.
A pesar del gran avance de la introducción de esta nueva noción, sus alcances se restringían a los alcances mismos de las matemáticas. Por ejemplo, era relativamente sencillo calcular la velocidad de un móvil que se desplaza a velocidad constante, puesto que en cada segundo recorre distancias iguales. A su vez, también lo era calcular la velocidad de un móvil en aceleración constante, como en un cuerpo en caída libre. Sin embargo, cuando la velocidad del objeto variaba, no había herramienta, en épocas de Galileo, que ayudase a determinar la velocidad instantánea de un objeto.
Fue recién en el siglo XVI cuando, con el desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se pudo solucionar la cuestión de obtener la velocidad instantánea de un objeto. Ésta está determinada por la derivada de la posición del objeto respecto del tiempo.
Las aplicaciones de la velocidad, con el uso de Cálculo, es una herramienta fundamental en Física e Ingeniería, extendiéndose en prácticamente todo estudio donde haya una variación de la posición respecto del tiempo.

[editar] Velocidad en mecánica clásica

[editar] Velocidad media

La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δs) por el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

(1) No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \mathbf \bar v = \frac{\Delta \mathbf r}{\Delta t}

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).
Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:

(2) $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.
El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{10}{3} = 3,3\bar{3} \,\, \text{m/s}$

[editar] Celeridad o rapidez

La celeridad o rapidez es la magnitud o el valor de la velocidad, sea velocidad vectorial media, sea velocidad media sobre la trayectoria, o velocidad instantánea (velocidad en un punto). Entonces, se pueden presentar por lo menos tres casos de celeridad, dos de los cuales las desarrollamos a continuación, y el tercer caso lo veremos al tocar velocidad instantánea:

[editar] Celeridad o magnitud de la velocidad promedio

Es la magnitud del desplazamiento dividida entre el tiempo transcurrido.
La rapidez promedio no necesariamente es igual a la magnitud de la velocidad promedio. La rapidez promedio (o velocidad media sobre la trayectoria) y la velocidad media tienen la misma magnitud cuando todo el movimiento se da en una dirección. En otros casos, pueden diferir. Esta diferencia entre la rapidez y la magnitud de la velocidad puede ocurrir cuando se calculan valores promedio.

[editar] Velocidad instantánea

La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

$\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

$\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

donde $\mathbf u_t$ es un versor (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y $\mathbf r$ es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

[editar] Celeridad instantánea

Es el valor o módulo de la velocidad instantánea. Y es el tercer caso al que nos referíamos más arriba. El módulo del vector velocidad instantánea y el valor numérico de la velocidad instantánea sobre la trayectoria son iguales.

[editar] Velocidad relativa

Artículo principal: Velocidad relativa

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como $\mathbf v_\text{BA}\;$ .
Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son $\mathbf{v}_\text{A} \,$ y $\mathbf{v}_\text{B}\,$ , la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como $\mathbf{v}_\text{BA}\;$ y viene dada por:

$\mathbf{v}_\text{BA} = \mathbf{v}_\text{B} - \mathbf{v}_\text{A}$

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como $\mathbf{v}_\text{AB}\;$ y viene dada por:

$\mathbf{v}_\text{AB} = \mathbf{v}_\text{A} - \mathbf{v}_\text{B}$

de modo que las velocidades relativas $\mathbf{v}_\text{BA}\;$ y $\mathbf{v}_\text{AB}\;$ tienen el mismo módulo pero dirección contraria.

[editar] Velocidad angular

La velocidad angular no es propiamente una velocidad en el sentido anteriormente definido sino una medida de la rapidez con la que ocurre un movimiento de rotación. Aunque no es propiamente una velocidad una vez conocida la velocidad de un punto de un sólido y la velocidad angular del sólido se puede determinar la velocidad instantánea del resto de puntos del sólido.

[editar] Velocidad en mecánica relativista

Artículo principal: Cuadrivelocidad

En mecánica relativista puede definirse la velocidad de manera análoga a como se hace en mecánica clásica sin embargo la velocidad así definida no tiene las mismas propiedades que su análogo clásico:

En primer lugar la velocidad convencional medida por diferentes observadores, aún inerciales, no tiene una ley de transformación sencilla (de hecho la velocidad no es ampliable a un cuadrivector de manera trivial).
En segundo lugar, el momento lineal y la velocidad en mecánica relativista no son proporcionales, por esa razón se considera conveniente en los cálculos substituir la velocidad convencional por la cuadrivelocidad, cuyas componentes espaciales coinciden con la velocidad para velocidades pequeñas comparadas con la luz, siendo sus componentes en el caso general:

$U^i = \frac{v_i}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad i\in\{1,2,3\}, \qquad \qquad U^0 = \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Además esta cuadrivelocidad tiene propiedades de transformación adecuadamente covariantes y es proporcional al cuadrimomento lineal.
En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva. Eso significa que si consideramos dos observadores, A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes $v_\text{AO}, v_\text{BO} \,$ , respecto de un tercer observador O, sucede que:

$v_\text{BO} \ne v_\text{BA} + v_\text{AO} \qquad v_\text{AO} \ne v_\text{AB} + v_\text{BO}$

Siendo la velocidad

v BA

de B medida por A y

v AB

la velocidad de A medida por B. Esto sucede porque tanto la medida de velocidades, como el transcurso del tiempo para los observadores A y B no es el mismo debido a que tienen diferentes velocidades, y como es sabido el paso del tiempo depende de la velocidad de un sistema en relación a la velocidad de la luz. Cuando se tiene en cuenta esto, resulta que el cálculo de velocidades relativas no es aditiva. A diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica, donde el paso del tiempo es idéntico para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. Otra forma de verlo es la siguiente: si las velocidades relativas fuera simplemente aditiva en relatividad llegaríamos a contradicciones. Para verlo, consideremos un objeto pequeño que se mueve respecto a otro mayor a una velocidad superior a la mitad de la luz. Y consideremos que ese otro objeto mayor se moviera a más de la velocidad de la luz respecto a un observador fijo. La aditividad implicaría que el objeto pequeño se movería a una velocidad superior a la de la luz respecto al observador fijo, pero eso no es posible porque todos los objetos materiales convencionales tienen velociades inferiores a la de luz. Sin embargo, aunque las velocidades no son aditivas en relatividad, para velocidades pequeñas comparadas con la velocida de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, es decir:

$v_\text{B} \approx v_\text{BA} + v_\text{A} \qquad v_\text{A} \approx v_\text{AB} + v_\text{B}$

Siendo inadecuada esta aproximación para valores de las velocidades no despreciables frente a la velocidad de la luz.

[editar] Velocidad en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no relativista el estado de una partícula se describe mediante una función de onda $\psi(x)\,$ que satisface la ecuación de Schrödinger. La velocidad de propagación media de la partícula viene dado por la expresión:

$\mathbf{v} = \frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{\boldsymbol{\nabla}\psi^*}{\psi^*} - \frac{\boldsymbol{\nabla}\psi}{\psi} \right)$

Obviamente la velocidad sólo será diferente de cero cuando la función de onda es compleja, siendo idénticamente nula la velocidad de los estados ligados estacionarios, cuya función de onda es real. Esto último se debe a que los estados estacionarios representan estados que no varían con el tiempo y por tanto no se propagan.

[editar] Unidades de velocidad

[editar] Sistema Internacional de Unidades (SI)

Metro por segundo (m/s), unidad de velocidad del SI (1 m/s = 3,6 km/h).

Sistema Métrico antiguo:

Kilómetro por hora (km/h) (muy habitual en los medios de transporte)^[2]
Kilómetro por segundo (km/s)

[editar] Sistema Cegesimal de Unidades

Centímetro por segundo (cm/s) unidad de velocidad del sistema cegesimal

[editar] Sistema Anglosajón de Unidades

Pie por segundo (ft/s), unidad de velocidad del sistema inglés
Milla por hora (mph) (uso habitual)
Milla por segundo (mps) (uso coloquial)

[editar] Navegación marítima y Navegación aérea

El Nudo es una unidad de medida de velocidad, utilizada en navegación marítima y aérea, equivalente a la milla naútica por hora (la longitud de la milla naútica es de 1.851,85 metros; la longitud de la milla terrestre -statute mille- es de 1.609,344 metros).

[editar] Aeronáutica

El Número Mach es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s (1224 km/h).

[editar] Unidades naturales

El valor de la velocidad de la luz en el vacío = 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s).

[editar] Véase también

[editar] Referencias

↑ http://es.wikibooks.org/wiki/Física/Cinemática/Velocidad
↑ Utilizada, por ejemplo, en las señales de tráfico.

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jueves, 3 de noviembre de 2011

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